PROBLEMA 5 CUADERNILLO

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 Calcular el volumen de una caja abierta de base cuadrada y capacidad máxima que puede construirse con una pieza cuadrada de cartón de 2m de lado recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas

  • Dimensiones de la caja:
    • Después de recortar los cuadrados de las cuatro esquinas, la base de la caja tendrá dimensiones.

    (2−2𝑥) ×(2−2𝑥) metros, ya que se resta dos veces x de cada lado del cuadrado original.

    La altura de la caja será 𝑥 metros, que es la longitud del cuadrado recortado.

    Volumen de la caja: El volumen V de la caja se calcula multiplicando el área de la base por la altura:

    𝑉=(2−2𝑥)2⋅𝑥V=(2−2x) 2 ⋅x

    Entonces, el volumen se convierte en:

    𝑉=(4−8𝑥+4𝑥2) ⋅𝑥=4𝑥3−8𝑥2+4𝑥

    Encontrar el máximo volumen:
    Para encontrar el máximo volumen, derivamos 𝑉 respecto a x y encontramos donde la derivada se anula:

    =12x 2 −16x+4

    Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:

    12x 2−16x+4=0

    Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos 
    𝑥=23m

     Evaluamos 𝑉 en este punto:

    23) =4(23)3−8(23)2+4(23)

    Calculando esto nos da el volumen máximo.

    Por lo tanto, el volumen máximo de la caja abierta con base cuadrada que puede construirse a partir de una pieza cuadrada de cartón de 2m de lado, recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas, es aproximadamente 
    32
    27
    27
    32
    ​ metros cúbicos













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